Quan hệ với các không gian Hilbert Không_gian_Banach

Như là được nói đến ở trên, mọi không gian Hilbert là một không gian Banach bởi vì, theo định nghĩa, một không gian Hilbert là đầy đủ với chuẩn suy ra từ tích vô hướng, (chuẩn được suy ra từ tích vô hướng nghĩa là ||v||² = (v,v) với tất cả v.

Điều ngược lại không luôn luôn đúng; không phải không gian Banach nào cũng là không gian Hilbert. Một điều kiện cần và đủ cho một không gian Banach V có liên quan đến một tích vô hướng (mà cần có để làm V trở thành một không gian Hilbert) là hằng đẳng thức hình bình hành:

||u+v||² + ||u-v||² = 2(||u||² + ||v||²)

với mọi u và v trong V, mà ||*|| là chuẩn trên V.

Nếu chuẩn của một không gian Banach thỏa mãn hằng đẳng thức này, tích vô hướng liên quan sẽ làm nó trở thành một không gian Hilbert thông qua hằng đẳng thức phân cực. Nếu V là một không gian Banach thực, thì hằng đẳng thức phân cực là

(u,v) = (||u+v||² - ||u-v||²)/4

và nếu V là một không gian Banach phức, thì hằng đẳng thức phân cực được cho bởi

(u,v) = (||u+v||² - ||u-v||² + i(||u+iv||² - ||u-iv||²)).

Điều kiện cần là dễ dàng từ định nghĩa của một tích vô hướng. Để thấy điều kiện đủ —nghĩa là luật bình hành sẽ suy ra dạng định nghĩa bằng hằng đẳng thức phân cựa thật sự là một tích vô hướng đầy đủ—ta phải kiểm tra một cách đại số là dạng này là cộng với nhau được, từ đó bằng phép quy nạp dạng này là tuyến tính trên các số tự nhiên và số hữu tỉ. Sau đó bởi vì mỗi số thực là giới hạn của một chuỗi Cauchy nào đó của các số hữu tỉ, tính đầy đủ của chuẩn mở rộng sự tuyến tính lên toàn đường thẳng thực. Trong trường hợp phức, ta có thể kiểm tra rằng dạng vô hướng đó là tuyến tính trên i trong một tham số, và tuyến tính liên hợp trên tham số còn lại.